算術-幾何平均值不等式,簡稱算幾不等式,是一個常見而基本的不等式,表現算術平均數和幾何平均數之間恆定的不等關係。假設有n1,n2,…,n9九個正實數(又稱自然數),若將9個數加總後取平均值,則其值恆大於9數相乘開9次方根。

算術-幾何平均值不等式僅適用於正實數,是對數函數之凹性的體現,在數學、自然科學、工程科學以及經濟學等其它學科都有應用。最早是英國數學家麥克勞林以“調整法”在1792年提出,但並不嚴謹, 後來有柯西、喬治·克里斯托、琴生等人慢慢形成完整而嚴謹的不等式證明。後人以其為基礎,衍生出了加權算術-幾何平均不等式、以向量來看的矩陣形式、極限形式(積分形式)、算數-幾何-調和平均值不等式…等。

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